有一平板絕緣層內面溫度為 270℃，外面以熱對流方式散失到 20℃的空氣中，平板厚度為 4 cm，熱傳導係數 K=1.2W/m℃，若要使平面外面的溫度不超過 70℃，試求其對流熱傳係數的極小值？

本題考點

平板穩態熱傳中傳導與對流串聯，熱通量於界面必須連續。

正解理由

依傅立葉熱傳導定律 q″＝k(T₁－T₂)/L 與牛頓冷卻定律 q″＝h(T₂－T∞)，穩態下通過絕緣層與由外表面對流散出的熱通量必然相等，令兩式相等即可解出對流熱傳係數；外表面溫度要「不超過 70℃」，代表散熱能力不得小於算得之值，故其極小值為 120 W/m²℃，故選 B。

逐項排除

1. (A)

   60 W/m²℃：相當於把厚度誤代為 8 cm，或把對流溫差誤取 100℃，散熱僅一半。

2. (B)

   120 W/m²℃：由 q″＝6000 W/m² 除以對流溫差 50℃ 所得，為維持外表面 70℃ 所需的最小值，為正解。

3. (C)

   240 W/m²℃：相當於把厚度誤代為 2 cm，傳導熱通量算成兩倍，屬 cm 與 m 換算出錯。

4. (D)

   480 W/m²℃：相當於厚度誤代為 1 cm，偏離題示 4 cm 更遠，數值過大。

演算步驟

1. L＝4 cm＝0.04 m；
2. 傳導熱通量 q″＝k(T₁－T₂)/L＝1.2 W/m℃×(270℃－70℃)÷0.04 m＝1.2×200÷0.04＝6000 W/m²；
3. 穩態下對流熱通量相等，q″＝h(T₂－T∞)，即 6000 W/m²＝h×(70℃－20℃)；
4. h＝6000 W/m²÷50℃＝120 W/m²℃。

記憶點

這題的骨架是熱阻串聯觀念。把熱傳類比成電路：熱通量相當於電流，溫差相當於電壓，熱阻相當於電阻。單位面積下，平板傳導熱阻 R_cond＝L/k（單位 m²℃/W），表面對流熱阻 R_conv＝1/h。兩者串聯時總熱通量 q″＝(T₁－T∞)/(L/k＋1/h)。本題已知界面溫度，因此可拆成兩段分別計算，但用總熱阻式驗算也會得到相同答案：L/k＝0.04/1.2＝0.0333，1/h＝1/120＝0.00833，合計 0.04167，代入 (270－20)/0.04167＝6000 W/m²，與分段結果一致，可作為考場上的自我檢核。

「極小值」三個字是本題的關鍵語意。h 越大代表對流帶走熱量的能力越強，外表面溫度就越低；h 越小則熱量堆積、外表面溫度上升。題目要求外表面不超過 70℃，因此 120 W/m²℃ 是臨界值，凡大於此值皆可，小於即違反條件，這也是為什麼答案取等號時的數字。

單位與量級要分清楚：熱傳導係數 k 的單位是 W/m·℃（每公尺厚度），對流熱傳係數 h 的單位是 W/m²·℃（每單位面積），兩者相差一個長度維度，抄錯單位就抄錯公式。常見量級為：靜止空氣自然對流 h 約 5–25 W/m²℃，強制空氣流動約 25–250 W/m²℃，水的沸騰或凝結可達數千。本題算出 120 屬強制對流範圍，數值合理。材料方面，金屬 k 可達數十至數百，混凝土約 1.0–1.5，木材約 0.1–0.2，空氣約 0.026，這正是多孔隙材料保溫性佳的原因，也是防火被覆設計原理的理論基礎。

此考點的變化題型包括：改為多層平板求界面溫度、加入輻射項 h_r 與對流並聯、或改為圓管以對數平均半徑計算。火災學中亦用同一組公式解釋為何金屬構件受火害後強度快速下降（k 大、升溫快），以及為何木材表面碳化層能延緩內部升溫（碳化層 k 極小，形成天然隔熱層）。